Ja meine Damen und Herren, herzlich willkommen. Zwei Ankündigungen. Der Hörsaal hat sich in

weit so weit gelehrt, dass wir ab nächster Woche die Videoübertragung in den Nachbarhörsaal einstellen.

Das Applaus dafür ist nicht mehr nötig. Das heißt, wer jetzt sagt, man kann auch

hier locker einen Platz finden. Das ist das eine. Das zweite, ich möchte darauf

hinweisen, dass nächsten Donnerstag die Vorlesung nicht stattfindet.

Weil der Hörsaal hier gebraucht wird für die Personalversammlung der

Universität, das steht hier statt, heißt natürlich nicht, dass der Stoff

dann auch ausfällt. Gut, okay, also das nur als Hinweis und wir werden heute auch

relativ pünktlich Schluss machen. Sie sehen, ich bin schon wieder im

Promotionsoutfit. Da muss ich nachher dann auch pünktlich weg. Gut, wir haben beim

letzten Mal, also gestern, uns mit den Flächenträgheitsmomenten beschäftigt

und hatten als letztes diesen Satz von Steiner, also die Berechnung von

Flächenträgheitsmomenten, uns angeschaut bei parallel verschobenen

Koordinatenachsen. Heute wollen wir das machen, was sozusagen noch fehlt. Das

sind die Flächenträgheitsmomente bei Drehung des Koordinatensystems.

Das heißt, ich habe hier meinen Querschnitt, den ich betrachte, der hat

hier irgendwo sein Schwerpunkt S und ich habe ein Koordinatensystem hier drin

yz und bezüglich dieses yz-Systems kenne ich meine Flächenträgheitsmomente.

Die habe ich ausgerechnet und jetzt möchte ich gerne wissen, wie groß sind

die Flächenträgheitsmomente in einem gedrehten Koordinatensystem. Das heißt,

ich führe jetzt ein zweites gedrehtes System ein. Das ist hier um den Winkel

alpha, einfach gedreht und die neuen Achsen nenne ich eta und zeta. Ja, also

y-x- oder z- nennen können, egal. Wenn ich mir jetzt ein kleines

Flächenelement hier anschaue, da, dann hat das natürlich Koordinaten einmal hier z

und y in diesem System. Also das wäre hier die yz- und y-Koordinate und

natürlich hat es auch hier in dem eta-zeta-System irgendwelche Koordinaten.

Jetzt gilt folgender Zusammenhang, einfach aus der Geometrie, dass sich das

eta ausdrücken kann als y-cosinus alpha plus z-sinus alpha und das zeta als

minus y-sinus alpha plus z-cosinus alpha. Das kann man sich hier an den

Dreiecken überlegen, das will ich gar nicht herleiten. Diese Beziehung, die kann

ich jetzt einsetzen einfach in meine Gleichung für die Flächenträger-

azimente. Und zwar könnte ich jetzt hinschreiben, dass eta eta, also das

Flächenträger- azimente bezüglich der neuen eta-Achse, das wäre ja definiert

als das Integral zeta-Quadrat da, also Abstand von der eta-Achse, das ist hier

zeta da. So, jetzt setze ich für zeta einfach diese Beziehung hier ein, sodass

ich hier habe, ist gleich cosinus alpha-Quadrat mal das Integral z-Quadrat da.

Also ich benutze jetzt gleich die binomische Formel und sinus alpha und

cosinus alpha sind ja konstanten, die kann ich sozusagen vor die Integrale

ziehen, dann bekomme ich also diese Terme hier plus sinus-Quadrat alpha

y-Quadrat da, minus steht da, dann habe ich hier minus 2 sinus alpha-cosinus alpha

und hier steht yz da, also einfach durch einsetzen und ausmultiplizieren

bekomme ich das. Und jetzt sehe ich schon, was ich habe, dieses z-Quadrat da ist

das alte Iy, das hier ist Izz und dieser Term hier ist minus Iyz, das

minus steht da vorne sozusagen. Das heißt, ich habe eine ganz einfache

Beziehung gefunden, das ist also nicht weiter schwierig, einfach durch

einsetzen der geometrischen Beziehung. Analog könnte ich jetzt, also würde ich

jetzt das I eta eta hinschreiben, als Iy y-cosinus-Quadrat alpha plus Izz

sinus-Quadrat alpha plus Iyz mal 2, habe ich vergessen, sinus alpha-cosinus alpha,

das musste 2 hier vorstehen, da steht ja. So, in der Form. Und das kann ich jetzt mit den

anderen Größen genauso machen und würde folgendes rausbekommen, ich würde I zeta